Riemannzetafunktionen

Riemannzetafunktionen, im Allgemeinen als Riemann-Zeta-Funktion zeta(s) bezeichnet, ist eine zentrale Funktion der analytischen Zahlentheorie. Für komplexe s mit Realteil größer als 1 ist sie definiert durch die Dirichlet-Reihe zeta(s) = sum_{n=1}^\infty n^{-s}. Gleichzeitig lässt sich zeta(s) über das Euler-Produkt zeta(s) = product_{p} (1 - p^{-s})^{-1} darstellen, wobei p alle Primzahlen durchläuft. Durch analytische Fortsetzung erhält man eine meromorphe Fortsetzung auf ganzes komplexes Gebiet mit einer einfachen Polstelle bei s = 1.

Die Funktion erfüllt eine wichtige Form der Funktionsgleichung, die eine Verbindung zwischen Werten an s und 1-s herstellt, zeta(s) = 2^s pi^{s-1} sin(pi s/2) Gamma(1 - s) zeta(1 - s). Diese Symmetrie spiegelt sich in der Verteilung der Nullstellen wider.

Die Nullstellen der Riemannzetafunktion gliedern sich in triviale Nullstellen bei s = -2, -4, -6, ... und nicht-triviale Nullstellen im kritischen Streifen 0 < Re(s) < 1. Die Riemann-Hypothese besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen die Realteil-Reihe Re(s) = 1/2 besitzen. Die Lage der Nullstellen steht in enger Beziehung zur Verteilung der Primzahlen; aus der Nicht-Verschwindung von zeta(s) auf der Geraden Re(s) = 1 folgt unter anderem das Prime Number Theorem.

Notable Werte gehören zeta(2) = pi^2/6, zeta(0) = -1/2 und zeta(-1) = -1/12; zeta(3) ist die Apery-Konstante. Die Riemannzetafunktion dient als zentrale Struktur in Theorien zu Primzahldistribution und vielen verwandten Zeta-Funktionen.