RiemannKrümmung

RiemannKrümmung, auch bekannt als Riemannsche Krümmung, bezeichnet die Krümmung eines (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeitsraums. Der Riemannsche Krümmungstensor R^ρ_{ σ μ ν } misst die Nicht-Kommutativität der kovarianten Ableitungen und beschreibt damit, wie der Raum geometrisch gekrümmt ist. In der Geometrie ergibt sich aus der Kovarianz der Ableitung die Relation [∇_μ, ∇_ν] v^ρ = R^ρ_{ σ μ ν } v^σ. In Koordinaten lautet die Definition R^ρ_{ σ μ ν } = ∂_μ Γ^ρ_{ σ ν } - ∂_ν Γ^ρ_{ σ μ } + Γ^ρ_{ λ μ } Γ^λ_{ σ ν } - Γ^ρ_{ λ ν } Γ^λ_{ σ μ }, wobei Γ^ρ_{ μ ν } die Christoffel-Symbole sind.

Der Tensor besitzt Antisymmetrie in den Indizes μ und ν sowie weitere algebraische Symmetrien: R_{ρ σ μ ν} = - R_{σ ρ μ ν} = - R_{ρ σ ν μ} und R_{ρ σ μ ν} = R_{μ ν ρ σ}. Durch Kontraktion entstehen der Ricci-Tensor R_{σ ν} = R^μ_{ σ μ ν } und der Skalar R = g^{σ ν} R_{σ ν}. Die Riemannsche Krümmung hängt vollständig von der Metrik g ab, über die Levi-Civita-Verbindung.

Geometrisch interpretiert der Tensor die Krümmung, etwa via die Abschnittskrümmung K(X,Y) oder durch die Geodätentrennung: D^2 ξ^μ/ds^2 = - R^μ_{ ν ρ σ } u^ν u^ρ ξ^σ. In der Physik spielt sie eine zentrale Rolle, insbesondere in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wo der Krümmungstensor die Gravitation der Raumzeit beschreibt und in Feldgleichungen sowie in Phänomenen wie Gravitationslinsen beteiligt ist.

Hinweise: Es gibt unterschiedliche Schreibweisen, teils R_{μνρσ} genannt; die Begriffe Riemannsche Krümmung bzw. Riemann-Krümmung werden oft synonym verwendet.