Repräsentationswert

Repräsentationswert, in der Darstellungstheorie oft einfach als Wert einer Darstellung bezeichnet, ist der konkrete Bildwert eines Elements einer Gruppe unter einer gegebenen Darstellung. Sei G eine Gruppe, V ein Vektorraum über einem Feld F, und ρ: G → GL(V) eine Darstellung von G auf V. Für jedes g ∈ G ist der Repräsentationswert ρ(g) ein invertierbares lineares Abbild von V, also ein Element von GL(V). In einer Basis von V wird ρ(g) durch eine Matrix dargestellt, die die Wirkung von g auf V codiert.

Beispiele: Bei der Natur Darstellung der symmetrischen Gruppe S_n auf dem Vektorraum F^n ist ρ(σ) die entsprechende Permutationsmatrix. Die reguläre Darstellung von G wirkt auf dem Gruppenalgebra FG durch Rechts- oder Linksmultiplikation, wodurch jeder Gruppenwert ρ(g) eine Permutationsmatrix bezüglich der Basiselemente von FG ist.

Zusammenhang mit Charakteren: Zu jeder Darstellung ρ gehört der Charakter χ mit χ(g) = Tr(ρ(g)). Der Repräsentationswert bestimmt also den Charakter, und χ ist eine Klassenfunktion, d. h. χ(g) ist konstant auf Konjugationsklassen. Umgekehrt liefert der Charakter oft wesentliche Information über die Struktur der Darstellung.

Eigenschaften: Der Repräsentationswert hängt vom gewählten Basis ab; verschiedene Basen ergeben Matrizen, die durch eine ÄquivalenzTransformation zusammenhängen. Trotzdem liefern Eigenwerte und insbesondere der Charakterbaustein basisunabhängige Informationen über die Darstellung, wie Dimension, Irreducibilität und Zerlegung in direkte Summen.

Anwendungen: Repräsentationswerte werden verwendet, um Gruppenaktionen zu analysieren, Symmetrien zu klassifizieren und Charaktertabellen zu berechnen.

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