Irreducibilität

Irreducibilität ist ein Begriff der Algebra, der die Bausteine eines Objekts beschreibt. In einem kommutativen Ring R mit Eins heißt ein Element a irreduzibel, wenn es kein Teiler der Form a = bc mit b und c Nicht-Einheiten ist und a selbst keine Einheit ist. Anschaulich bedeutet dies, dass a nicht als Produkt zweier sinnvoller, kleinerer Elemente dargestellt werden kann, außer durch Faktoren, die selbst Einheiten sind.

In der allgemeinen Ringtheorie gilt: Primzahlen (Prim-Elemente) sind irreduzibel, doch aus irreduzibel folgt nicht zwangsläufig Primsein. In bestimmten Ringen, etwa in von einem Körper unabhängigen Vertretern der sogenannten Hauptidealringe (PID) oder allgemein in UFDs (eindeutig faktorisierende Ringe), stimmen Irreduzibilität und Primalität überein. In einem UFD existiert eine Faktorisierung jedes Nicht-Null-Einheit-freien Elements in irreduzible Elemente, und diese Faktorisierung ist eindeutig bis Einheiten und Reihenfolge.

Im Polynomring über einem Körper ist ein Polynom ungleich Null und nicht konstant irreduzibel, wenn es sich nicht als Produkt von zwei nicht konstanten Polynomen schreiben lässt. Im Fall eines Körpers F ist F[x] ein PID, daher sind irreduzible Polynome dort auch prim.

In der Geometrie bezeichnet Irreducibilität eine Eigenschaft von Varietäten: Eine algebraische Varietät ist irreduzibel, wenn sie nicht als Vereinigung zweier eigener, kleinerer geschlossener Untervarietäten dargestellt werden kann. Äquivalent dazu ist, dass der zu ihr gehörige Koordinatenring ein primales Ideal besitzt.

Auch in der Darstellungstheorie spielen irreduzible Objekte eine zentrale Rolle: Ein nicht-null Modul wird als irreduzibel (simples Modul) bezeichnet, wenn es keine nicht-trivialen Untermodule enthält.

Beispiele: In den ganzen Zahlen Z sind irreduzible Elemente Primzahlen (z. B. 2, 3, 5); 4 ist nicht irreduzibel, da 4 = 2·2. Im Polynomialring über q bleibt x^2 + 1 irreduzibel, solange man über Q oder R betrachtet.