Representasjonsrom

Representasjonsrom, eller representasjonsrommet, er et matematisk objekt som parameteriserer alle måter en gitt struktur kan representeres som matriser av en fast størrelse. Vanligvis studeres representasjonsrom for grupper over et felt K, der en representasjon er en gruppehomomorfisme rho fra en gruppe G til GL_n(K). Representasjonsrommet Rep_n(G) består av alle slike homomorfiseringer og kan ses som en affinn algebraisk varié over K.

For en gruppe G som genereres av g1, …, gr og forhold R, kan Rep_n(G) beskrives som en underrom av GL_n(K)^r bestående av r-tuplele (A1, ..., Ar) som oppfyller relasjonene i R. Som et produkt av gl_n(K) er Rep_n(G) en lukkende undermengde definert ved polynomlikninger, og derfor en affinit algebraisk varié over K.Samtidig har den naturlig translasjonssymmetri fra basisendring: GL_n(K) virker på Rep_n(G) ved konjugasjon, og ordbildet av denne aksjonen klassifiserer isomorfiske representasjoner.

Moduliserende mål, eller modulirom, oppnås ved å ta kvotienten Rep_n(G) // GL_n(K) i Geometric Invariant Theory (GIT); dette representerer klassene av representasjoner opp til isomorfisme. Ofte skiller man mellom hele representasjonsrommet og karaktervarianter, hvor karakterfunksjonene gir en brukbar avbildning av modulirommet og brukes i geometrisk og fysisk kontekst.

Representasjonsrom brukes også for andre algebraiske strukturer enn grupper, som assosiative algebren A eller Lie-algebren g, hvor Rep_n(A) = Hom_alg(A, M_n(K)). Anvendelser inkluderer studie av karaktervarianter i geometri og topologi, sykelige modeller i matematisk fysikk, og konkret klassifisering av representasjoner i algebra.