Rategleichung

Eine Rategleichung beschreibt die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion als Funktion der Konzentrationen der beteiligten Spezies. Die Geschwindigkeit r wird häufig als r = k [A]^m [B]^n angegeben, wobei k die Geschwindigkeitskonstante ist und m, n die Reaktionsordnungen in Bezug auf A bzw. B darstellen. Die Rategleichung bildet auch die zeitliche Entwicklung der Konzentrationen ab, da sich deren Änderungen mit der Zeit durch Differentialgleichungen ausdrücken lassen: -d[A]/dt = a·r, -d[B]/dt = b·r, wobei a und b die stöchiometrischen Koeffizienten in der Reaktion aA + bB -> Produkte sind.

Beispiele und Formeln. Bei einer einfachen Reaktion aA -> Produkte gilt der Rateausdruck r = k [A]^m. Die zeitliche Änderung der Konzentration folgt dann aus d[A]/dt = -a·k [A]^m. Wenn a = 1, wird oft d[A]/dt = -k [A]^m verwendet. Typische Fälle sind Null-, Erste und Zweite Ordnung: Nullordnung d[A]/dt = -k, Erste Ordnung d[A]/dt = -k[A], Zweite Ordnung d[A]/dt = -k[A]^2. Für Reaktionen mit mehreren Reaktanten ergibt sich r = k [A]^m [B]^n, und die Gesamtordnung ist m+n.

Integrationen und Anwendungen. Für die Erste Ordnung lässt sich die Konzentration als Funktion der Zeit ableiten: [A](t) = [A]0 e^{-k t}. Bei einer Zweiten Ordnung mit einer Reaktantenkonzentration gilt 1/[A] = kt + 1/[A]0. Abgeleitete Rategleichungen können aus Reaktionsmechanismen (durch Geschwindigkeitsbestimmung, Steady-state-Approximation) oder aus experimentellen Messungen (Methode der Anfangsgeschwindigkeiten) gewonnen werden. Die Temperaturabhängigkeit der Geschwindigkeit wird durch das Arrhenius-Gesetz beschrieben: k = A e^{-Ea/RT}. In der Biochemie führen spezielle Modelle wie Michaelis-Menten zu charakteristischen Rategleichungen für Enzymreaktionen.