Randkrümmung

Randkrümmung, in der Differentialgeometrie oft als extrinsische Krümmung einer Randfläche bezeichnet, misst, wie eine Randunterfläche im umgebenden Raum eingebettet ist. Gegeben sei eine Mannigfaltigkeit M mit Metrik g_ab und eine Randfläche ∂M mit induzierter Metrik h_ab. Wählt man einen Einheitsnormalenvektor n^a zu ∂M, dann ist die extrinsische Krümmungstensor K_ab definiert als K_ab = h_a^c h_b^d ∇_c n_d. Der Spurbetrag K = h^{ab} K_ab wird als mittlere Krümmung (Mean Curvature) bezeichnet. K_ab ist symmetrisch und gibt die Krümmung der Randfläche in Richtung der Normalen an.

Eigenschaften: K_ab beschreibt, wie ∂M von M aus gesehen "absteht" bzw. sich biegt. Ist ∂M total geodätisch in M, verschwindet K_ab. Die Gauss-Codazzi-Gleichungen verbinden die intrinsische Krümmung von ∂M mit der extrinsischen Krümmung und der Randkrümmung des umgebenden Raums.

Beispiele: In Euclidischer 3D-Raum ist die extrinsische Krümmung einer Kugel radius R gleich K_ab = (1/R) h_ab, und der mittlere Krümmungssatz K = 2/R. In flachem Raum ist K identisch 0, wenn die Randfläche eben ist.

Physikalische Bedeutung: In der Allgemeinen Relativitätstheorie spielt Randkrümmung eine zentrale Rolle in Formulierungen mit Rändern, etwa in der initialwertformalismus oder im Gibbons-Hawking-York-Randterm, der die Variation des Einstein-Hilbert-Action mit Rand stabilisiert. Randkrümmung tritt zudem in Brane-Welten und holographischen Beschreibungen auf.

Siehe auch: Extrinsische Krümmung, Zweites Fundamentalform, Mean Curvature, Gauss-Codazzi-Gleichungen.