Radontransformen

Radontransformen, eller Radon-transformen, er en matematisk integraltransform som tilordner en funksjon f definert på det euklidiske rommet R^n tilmengden av dens integral over hyperplaner. For f ∈ L^1(R^n) er transformen definert som Rf(ξ, p) = ∫_{R^n} f(x) δ(p − ⟨ξ, x⟩) dx, der ξ ∈ S^{n−1} og p ∈ R. Intuitivt er Rf(ξ, p) integralet av f over hyperplane ⟨ξ, x⟩ = p, som er vinkelrett på ξ.

I to dimensjoner skrives transformen ofte som Rf(θ, s) = ∫∫ f(x, y) δ(s − x cos θ − y sin θ) dx dy, med θ ∈ [0, π) og s ∈ R. Linjene x cos θ + y sin θ = s er vinkelrett på θ, og Rf(θ, s) er lineintegralet av f langs den linjen.

Inversjon og rekonstruksjon: Å gjenskape f fra Rf er et inverse problem. Fourier-skjebnetheoremen sier at 1D-Fourier-transformen av Rf med hensyn til s tilsvarer en radial snitt (slice) av 2D-Fourier-transformen til f. Ved å samle alle vinkler θ og utføre en invers transform kan man rekonstruere f. I praksis brukes filtered backprojection, som påfører projeksjonene et ramp-filter (high-pass) før backprojection.

Varianter og utvidelser inkluderer 3D-Radon-transformen over planer; cone-beam og fan-beam-geometrier brukt i CT; og attenuerte eller generaliserte Radon-transformer for variabel media eller kurvede integrasjonsbaner.

Anvendelser og historie: Radon-transformen er sentral i datert bildediagnostikk (CT), ikke-destruktiv testing, geofysikk og elektronmikroskopi. Transformen ble introdusert av Johann Radon i 1917; dens praktiske anvendelse i medisinsk bildediagnostikk ble demonstrert av Allan Cormack og Godfrey Hounsfield på 1960-tallet, noe som muliggjorde moderne CT-skannere.