Rücktransformation

Rücktransformation bezeichnet in der Mathematik und verwandten Fachgebieten den Prozess, eine Transformation wieder in ihren ursprünglichen Zustand zu überführen. Formal ist eine Rücktransformation T^{-1}: Y -> X definiert, sofern eine Abbildung T: X -> Y existiert, die bijektiv ist oder sich auf dem Bild eindeutig invertieren lässt. Dann gilt T^{-1}(T(x)) = x und T(T^{-1}(y)) = y für alle passenden Elemente. In diesem Sinn ist die Rücktransformation das Inverse der Transformation.

Ist T nicht bijektiv, existieren kein eindeutiges Inverses. In solchen Fällen spricht man von linken oder rechten Inversen oder man arbeitet mit Einschränkungen des Definitions- beziehungsweise Bildbereichs. Praktisch wird häufig ein Inverses auf dem Bild von T verwendet, oder man nutzt spezielle Regularisierungsmethoden, um eine stabile Rücktransformation zu ermöglichen.

Gängige Beispiele umfassen die Fourier-Transformation und deren inverse Fourier-Transformation, die Laplace-Transformation und die inverse Laplace-Transformation sowie die Z-Transformation und deren inverses Verfahren. Im statistischen und datenanalytischen Kontext wird oft von einer Rücktransformation gesprochen, wenn Ergebnisse nach einer Analyse auf einer transformierten Skala wieder auf die Ursprungs- oder Originalskala übertragen werden sollen. Typische Fälle sind die Rücktransformation von log- oder Box-Cox-Transformationen.

Anwendungen finden sich in Signalverarbeitung, Lösungsverfahren für Differentialgleichungen, Bild- und Audiodatenverarbeitung sowie in der Datenauswertung. In der Praxis können numerische Rücktransformationen Anpassungen erfordern, da Inverse nicht immer eindeutig oder numerisch instabil sein können.