Quasimétriques

Quasimétriques, ou espaces quasi-métriques, désignent une généralisation des métriques dans laquelle la distance n’est pas nécessairement symétrique. Plus précisément, une quasi-métrique d sur un ensemble X est une application d: X×X → [0,∞) telle que d(x,x)=0 pour tout x; d(x,y)≥0 pour tous x,y; et l’inégalité triangulaire d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) pour tous x,y,z. Dans certaines conventions, on impose aussi que d(x,y)=0 implique x=y, ce qui donne une identité des indiscernables; cette condition peut toutefois varier selon les auteurs. Si d est symétrique, on retrouve une métrique classique; sans symétrie, on obtient une structure asymétrique.

Le d induit une topologie par les boules ouvertes B_d(x,r) = {y | d(x,y) < r}. Cette topologie peut être non symétrique et les notions de convergence et de suites de Cauchy se distinguent selon le sens des relations entre les points. Pour récupérer une métrique, on peut pratiquer une symétrisation, par exemple d_sym(x,y) = max(d(x,y), d(y,x)) ou d'(x,y) = d(x,y) + d(y,x).

Exemples et domaines d’application: un exemple élémentaire sur R est d(x,y) = max(0, y - x), qui vérifie les propriétés d’une quasi-métrique et n’est pas symétrique. Les quasi-métriques apparaissent dans l’étude des ordres et des flux temporels, en informatique théorique (domaines et analyse de programmes), et dans des contextes où la distance d’une observation à une autre dépend de la direction du trajet. L’étude des notions de convergence et de complétude adaptées est centrale pour comprendre les particularités des espaces quasi-métriques.