Projektsioonimaatriks

Projektsioonimaatriks on lineaarne operaator P ∈ R^{n×n}, mis rahuldab idempotentsuse võrrandit P^2 = P. Selline maatriks kirjeldab vektorruumi projektsiooni kindla alamruumi U suhtes: iga vektor v ∈ R^n saab kirjutada v = u + w, kus u ∈ U ja w ∈ W, ning projektsioon P viib v ainult u, ehk P(v) = u. Alamruumide koostis ja projektsiooni suund määravad maatriksi.

Ortogonaalne projektsioon. Kui projektsioon projitseerib vektorid alamruumi U peale ortogonaalselt, on projektsiooniruumide paar (U, U⊥) ja P on sümmeetriline (P^T = P) ning idempotentne. Ortogonaalse projektsiooni korral on R^n = U ⊕ U⊥ ja P(v) on ainus element u ∈ U, mida v saab esitada u + w. Kui U on esindatud veergudega, mis moodustavad ortonormaalsebaasi Q, siis P = Q Q^T. Tavaline näide: projitseerimine x-telje peale R^2, P = [[1,0],[0,0]].

Mittestandardne (obliik) projektsioon. Kui projektsioon projitseerib vektorid U peale lõikamata ortogonaalsest, ehk projektsioonide ruum R^n = Col(A) ⊕ Col(B) erinevusest, on P = A (B^T A)^{-1} B^T. Siin A ja B on täisveerandklassi maatriksid ning B^T A on kinvertne. Erinevalt ortogonaalsest projektsioonist ei ole P tavaliselt sümmeetriline.

Omadused. Projektsioonimaatriksidel on P^2 = P, seega kõik oma iseloomulikud omadused tulenevad idempotentsusest. Spektri üldine kujund on 0 ja 1 väärtuste sisaldus; jada P-energia (trace) võrdub projektsiooniallruumi dimensiooniga. Ainult P = I või P = 0 on inverteeritavad.

Rakendused. Projektsioonimaatrikseid kasutatakse paljudes valdkondades, näiteks minimaalsete ruutimööde leidmisel (least squares) ja kolmemõõtmelises arvutimängudes the orthogonal projection mappingile maailmavaate ruumist 3D 2D, samuti mitmetes andmeteaduse ja statistika kontekstides, kus andmepunktide projektsioonide abil leitakse parim kaduv lahendus.

Projektsioonimaatrikseid kasutatakse nii ühekujulistes kui ka mitteortograafsetes projektsioonides ning neile kehtivad lihtsad, kuid olulised algebra omadused.