Projektionsmatrix

Eine Projektionsmatrix, kurz Projektion, ist eine Matrix, die einen Vektor auf einen Unterraum abbildet, indem er in diesen Unterraum projiziert wird. Typischer Fall ist der Projektion auf einen Unterraum W von R^n, wozu eine Matrix P existiert, so dass Pv ein Vektor in W ist und Pv = v gilt, falls v bereits in W liegt. Allgemein gilt P^2 = P; bei einer orthogonalen Projektion ist zusätzlich P^T = P, und P ist damit eine symmetrische idempotente Matrix.

Konstruktion und formel: Wählt man eine Matrix A mit Spalten als Basisvektoren von W, dann ist P = A (A^T A)^{-1} A^T, vorausgesetzt, die Spalten von A sind linear unabhängig. Falls W durch eine orthonormale Basis Q gegeben ist, erhält man P = Q Q^T. Eine Projektion ist typischerweise nicht invertierbar, es sei denn, W = R^n.

Eigenschaften: Die Eigenwerte einer Projektionsmatrix sind 0 oder 1; der Rang von P entspricht der Dimension von W; die Spur von P ergibt die Dimense des projizierten Unterraums. Ist P orthogonal, dann ist P diagonalisierbar und P^T = P.

Anwendungen: In der linearen Regression führt die Projektion auf die Spaltenraummenge einer Designmatrix X zur Hat-Matrix H = X (X^T X)^{-1} X^T, die Beobachtungswerte y auf Vorhersagen y_hat abbildet. In der Computergrafik erscheinen orthogonale und perspektivische Projektionen als 4x4 Matrizen, die Koordinaten von 3D in Homogene Koordinaten und schließlich in den Clip-Raum transformieren.

Beispiele: Die Projektion auf die XY-Ebene in R^3 wird durch diag(1, 1, 0) repräsentiert. Eine allgemeine Projektion bleibt projektiv, solange der Zielunterraum gegeben ist.