Progressionsmaß

Progressionsmaß ist ein Begriff in der Mathematik zur Beschreibung der Progression einer Folge oder einer zeitlichen Abfolge. Je nach Kontext bezeichnet es unterschiedliche Größen, die die Art des Wachstums quantifizieren. In einer arithmetischen Folge a_n = a_0 + n d entspricht das Progressionsmaß dem gemeinsamen Zuwachs d; in einer geometrischen Folge a_n = a_0 r^n dem gemeinsamen Verhältnis r.

Eine allgemeinere, theoretische Definition verwendet den Grenzwert der Quotienten benachbarter Differenzen: p = lim_{n→∞} (a_n - a_{n-1}) / (a_{n-1} - a_{n-2}), sofern dieser existiert. Dann beschreibt p die Beschleunigung des Wachstums in den Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Ist p gleich 1, verläuft die Zunahme annähernd linear; p > 1 kennzeichnet eine zunehmende Beschleunigung. In einer geometrischen Progression entspricht p dem gemeinsamen Verhältnis r.

Beispiele: Für a_n = 5 + 3n ist D_n = a_n - a_{n-1} = 3, daher p = lim 3/3 = 1. Für a_n = 2 * 4^n gilt D_n = a_n - a_{n-1} = 2 * 4^{n-1} (4-1) = 6 * 4^{n-1}, D_{n-1} = 6 * 4^{n-2}, somit p = 4.

Anwendungen: Progressionsmaß wird in der Analyse von Wachstumsmustern in Zeitreihen, in der mathematischen Sequenzanalyse, in der Ökonometrie und in der Algorithmik genutzt, um Unterschiede zwischen Modellen zu charakterisieren.

Kritik: Der Grenzwert kann existieren oder nicht, und er ist empfindlich gegenüber Ausreißern oder Rauschen in realen Daten. Die Praxis verwendet oft Schätzungen oder lokale Versionen des Progressionsmaßes.