Potenzfunktion

Potenzfunktion ist in der Mathematik eine Funktion der Form f(x) = x^p, wobei p eine reelle Konstante ist. Allgemein gilt: Die natürliche Definitionsmenge hängt von p ab. Für ganzzahlige Exponenten p ist f(x) für alle reellen x definiert. Für rationale oder irrationale Exponenten ist die Definition in Realzahlen oft auf x > 0 beschränkt, und bei bestimmten rationalen Exponenten kann auch x ≥ 0 definiert werden. In komplexen Zusammenhängen lässt sich die Potenzfunktion mit komplexen Exponenten weiter verallgemeinern.

Für x > 0 gilt die Ableitung f'(x) = p x^{p-1}. Damit wächst die Funktion auf x > 0 monoton, wenn p > 0, und fällt, wenn p < 0. Der Wert f(0) ist je nach p verschieden oder nicht definiert; bei p > 0 nähert sich f(x) beim Annähern an Nullpunkt 0 an, bei p ≤ 0 ist der Verhalten an x = 0 unterschiedlich.

Der Graph der Potenzfunktion hängt stark von p ab. Bei ganzzahligem, insbesondere geradem p, ist die Funktion symmetry zur y-Achse (f(-x) = f(x)); bei ungeradem ganzzahligem p durchläuft sie den Ursprung (f(-x) = -f(x)). Für nicht ganzzahlige Exponenten existiert der Graph meist nur für x > 0, wodurch die Kurve asymmetrisch wird. Das Verhalten im Unendlichen entspricht x^p: Für p > 0 wächst der Graph nach rechts, für p < 0 nähert er sich dem Ursprung.

Zusammenhang und Anwendungen: Bei p ∈ N0 handelt es sich um eine spezielle Form der Polynomfunktion; allgemein gehört die Potenzfunktion zur Klasse der Monomien und ist eine einfache Grundlage in Analysis und Algebra. Potenzfunktionen modellieren Skalierung und Wachstumsprozesse und finden Anwendungen in Physik, Biologie, Informatik sowie in der Ökonomie und der Theorie der Komplexität.