Potenciación

La potenciación es la operación matemática que eleva una base a una potencia, y se escribe como a^n, donde a es la base y n el exponente. Cuando n es un entero, la definición se obtiene por multiplicación repetida: a^n es igual a a multiplicado por sí mismo n veces (para n>0). Para n=0 se define a^0 = 1 cuando a ≠ 0. Si n es negativo, a^(-n) = 1/a^n, de modo que a^(-k) representa la inversa multiplicativa de a^k.

La potenciación se generaliza a exponentes fraccionarios y reales. Para un exponente racional p/q, con q > 0, a^(p/q) se interpreta como la q-ésima raíz de a^p, cuando esa raíz es real. Si a < 0 y el denominador q es par, la expresión no es real y puede requerir un tratamiento en números complejos. En general, la potenciación con exponentes reales o complejos se extiende mediante definiciones apropiadas del dominio.

Entre las leyes fundamentales se encuentran: (ab)^n = a^n b^n, (a/b)^n = a^n / b^n, y (a^m)^n = a^(mn). También se cumple a^(m+n) = a^m a^n. Estas reglas permiten simplificar expresiones y desarrollar otras funciones.

La potenciación es la función inversa de la exponenciación, y su inversa se expresa mediante logaritmos: log base a de x es el exponente al que hay que elevar a para obtener x. Las aplicaciones abarcan crecimiento y deterioro, intereses compuestos, física, informática y modelización matemática. En computación, se emplean métodos eficientes como la exponenciación por cuadrados para calcular potencias grandes.