Populationskvantiler

Populationskvantiler är värden som delar upp sannolikhetsfördelningen för en slumpmässig variabel i delar med lika sannolikhet. För en variabel X med fördelningsfunktion F är p-kvantilen q_p ett värde där en andel p av distributionen är mindre än eller lika med q_p. Kvantilerna ger ett sammandrag av plats och spridning i fördelningen och används ofta som grundläggande deskriptiva mått.

Formellt definieras för p i (0,1) kvantilen q_p som q_p = F^{-1}(p) = inf{ x ∈ R | F(x) ≥ p }. Om F är kontinuerlig och strikt ökande är q_p unikt och F(q_p) = p. Vid diskreta fördelningar kan flera värden uppfylla F(x) ≥ p; i sådana fall används infimum eller andra konventioner.

Exempel: q_0,5 är medianen; q_0,25 och q_0,75 är första och tredje kvartilen. Utöver kvartiler används ofta deciler (t.ex. q_0,1 och q_0,9) eller percentiler. Kvantiler ger insikt i skevhet, svansbeteende och spridning hos fördelningen.

Ur data kan populationens kvantiler uppskattas med samplekvantiler. Vanliga metoder bygger på ordnade observationer och interpolation, och olika definitionsval kan leda till små skillnader i uppskattade kvantiler. Populationens kvantiler är därför teoretiska värden som estimatorer syftar att närma sig.

Användningar inkluderar beskrivning av fördelningar (boxplotar visar kvartiler och interkvartilavstånd), jämförelser mellan grupper och bedömning av skevhet och utliggare. Det är viktigt att notera att diskreta fördelningar kan ge icke-unika kvantiler beroende på vilken konvention som används.