Polynominterpolaatio

Polynominterpolaatio on menetelmä, jolla etsitään polynomi, joka kulkee annetun joukon pisteiden kautta. Annettu joukko koostuu pareista (x_i, y_i), ja interpolaatiopolynomi P(x) toteuttaa ehdon P(x_i) = y_i kaikilla i. Polynomin aste on korkeintaan n-1, missä n on pisteiden lukumäärä. Jos pisteiden x-arvot ovat kaikki erillisiä, tällainen polynomi on olemassa ja on yksikäsitteinen.

Yksi yleinen tapa muodostaa interpolaatiopolynomi on käyttämällä Lagrangen polynomeja. Jokaiselle pisteelle (x_j, y_j) määritellään Lagrangen perustapolynomi L_j(x), joka saa arvon 1 pisteessä x_j ja arvon 0 kaikissa muissa pisteissä x_k (k != j). Interpolaatiopolynomi saadaan tällöin painotettuna summana näistä perustapolynomeista: P(x) = sum(y_j * L_j(x)).

Toinen tapa on käyttää Newtonin muotoa, joka rakentaa polynomin iteratiivisesti lisäämällä termejä. Tämä muoto on usein tehokkaampi, erityisesti jos uusia pisteitä lisätään, ja se paljastaa polynomin rakenteen paremmin.

Polynominterpolaatiota käytetään monilla aloilla, kuten numeerisessa analyysissä, datan sovittamisessa ja funktioiden approksimoinnissa. Sillä on kuitenkin myös rajoituksensa, esimerkiksi korkea-asteiset interpolaatiopolynomit voivat osoittaa voimakasta värähtelyä pisteiden välillä (Runge-ilmiö), varsinkin jos pisteet on valittu epätasaisesti. Siksi käytännön sovelluksissa saatetaan suosia paloittaista polynomi-interpolaatiota, kuten kuutiollisilla spline-funktioilla.