Polynominterpolaatiota

Polynominterpolaatio on menetelmä, jolla etsitään polynomi, joka kulkee annetun joukon pisteiden läpi. Jokaiselle annetulle pisteelle polynomin on oltava yhtä suuri kuin pisteen y-koordinaatti. Jos meillä on n datapistettä, on olemassa yksikäsitteinen polynomi, jonka aste on korkeintaan n-1, joka kulkee kaikkien näiden pisteiden läpi. Tätä polynomia kutsutaan interpolaatiopolynomiksi.

Yksi yleinen tapa konstruoida interpolaatiopolynomi on käyttämällä Lagrangen polynomia. Lagrangen polynomi muodostetaan summana, jossa jokainen termi on tulo pisteen y-koordinaatista ja Lagrangen perustekijäpolynomista. Perustekijäpolynomi on rakennettu siten, että se saa arvon yhden tietyllä pisteellä ja arvon nolla kaikilla muilla annetuilla pisteillä.

Toinen tapa on käyttää Newtonin polynomia. Tämä menetelmä rakentaa polynomin iteratiivisesti lisäämällä termejä, jotka perustuvat jaettuihin erotuksiin. Jaettu erotus on tapa mitata funktion keskimääräistä muutosnopeutta kahden pisteen välillä. Newtonin polynomi on usein käytännöllisempi numeerisessa laskennassa, koska uuden pisteen lisääminen ei vaadi koko polynomin uudelleenlaskentaa.

Polynominterpolaatiolla on sovelluksia monilla aloilla, kuten numeerisessa analyysissä, tietokonegrafiikassa ja tilastotieteessä. Sitä käytetään esimerkiksi funktion arvojen estimointiin tuntemattomissa pisteissä, kun tunnetaan vain muutama funktion arvo. On kuitenkin tärkeää huomata, että korkea-asteiset interpolaatiopolynomit voivat osoittaa villiä värähtelyä pisteiden välillä, mikä tunnetaan Runge-ilmiönä.