Polynomeja

Polynomeja ovat matemaattisia lausekkeita, jotka muodostuvat muuttujan potensseista sekä kertoimista. Ne voivat olla yhdellä tai useammalla muuttujalla, ja niiden kertoimet kuuluvat useimmiten reaalilukujen tai kompleksilukujen joukkoon. Polynomeja käytetään laajalti algebran ja analyysin perusmallinnukseen sekä erilaisten lukujen ja funktioiden ominaisuuksien tutkimukseen.

Yhden muuttujan polynomi p(x) voidaan esittää muodossa p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, jossa a_i kuuluvat kenttään F ja a_n ≠ 0. Aste n määrittää suurimman potenssin, ja kertoimet voivat olla mitä tahansa säädetyn kentän elementtejä. Esimerkki: 3x^4 − 2x^2 + 5 on neljän asteen polynomi.

Monimutkaisempia polynomeja voidaan muodostaa useammalla muuttujalla, esimerkiksi p(x, y) = 3x^2y + 2y^3 − 5. Näissä polynomeissa käsitellään sekä yksittäisiä muuttujia että niiden risteytyksiä.

Polynomeilla on selkeät laskusäännöt: niitä voi lisätä, vähentää, kertoa sekä vaihdella muuttujia. Ne muodostavat renkaan F[x] yksi- tai monimuuttujaisilla polynomiyrityksillä, ja jos F on field, kyseessä on myös arvokas algebra-objekti. Kevyenä ja tärkeänä teoreettisena tuloksena on Factorin ja juurien tutkiminen: jos p(a) = 0, niin x − a on polynomin tekijä; tunnettuja tuloksia ovat esimerkiksi olennaiset juuret ja tekijöinti sekä Fundamental Theorem of Algebra, jonka mukaan kompleksilukujen joukossa jokainen ei-nolla polynomi voidaan kirjoittaa lineaaristen tekijöiden tuotteena.

Polynomeja käytetään laajasti mallintamiseen, laskujen suorittamiseen ja ongelmien ratkaisemiseen matematiikan ja sovellusten eri aloilla.