Polynomeiden

Polynomeiden, auch Polynomeide genannt, sind Ideale innerhalb eines Rings. Formal ist I eine Polynomeide von R, wenn I eine additive Untergruppe von R ist und für alle r ∈ R und alle a ∈ I sowohl ra als auch ar wieder in I liegen. In kommutativen Ringen genügt diese Bedingung, um I als Ideal zu bezeichnen; in nicht kommutativen Ringen spricht man meist von zweiseitigen Idealen.

In Polynomringen, etwa K[x1,...,xn] mit einem Körper K, spricht man üblicherweise von Idealen. Jedes Ideal I kann von einer endlichen oder unendlichen Menge von Polynomen f1, ..., fk erzeugt werden und wird geschrieben als I = <f1, ..., fk>. Ein simples Beispiel ist das Hauptideal (f) in K[x], das alle Vielfachen von f enthält. Ein weiteres Beispiel ist I = (x^2, xy) in K[x,y], das alle Polynome umfasst, die als Faktor x^2 oder xy enthalten.

Eigenschaften und Theorien: Der Polynomring über einem Körper ist kein Nullteiler, und in K[x1,...,xn] gilt der Hilbert-Basis-Satz: Jedes Ideal ist endlich von Polynomen erzeugt. Damit sind Ideale in Polynomringen gut geeignete Objekte für algorithmische und theoretische Untersuchungen. Gröbner-Basen liefern eine verlässliche endliche Erzeugungsgleichung eines Ideals unter einer Monomordnung und ermöglichen effektive Berechnungen, etwa zur Idealmitgliedschaft oder zur Nullstellenbestimmung.

Geometrische Verbindung: Über algebraisch abschlossene Körper verbindet der Nullstellensatz Ideale mit algebraischen Mengen. Das radikale Ideal eines Ideals I entspricht der idealen Beschreibung der gleichzeitigen Nullstellen von I, und damit der zugehörigen Varietät.

Zusammengefasst sind Polynomeiden zentrale Bau- und Untersuchungsobjekte in der Polynomarithmetik und algebraischer Geometrie, mit Bedeutung sowohl in Theorie als auch in Berechnungen.