Nullteiler

Nullteiler bezeichnet in der Algebra ein Nicht-Null-Element eines Rings, das durch Multiplikation mit einem anderen Nicht-Null-Element Null ergibt. Genauer: Ein a in R mit a ≠ 0 ist ein Nullteiler, wenn es ein b ≠ 0 in R gibt mit ab = 0 oder ba = 0. In kommutativen Ringen genügt die Bedingung ab = 0, während in nichtkommutativen Ringen zwischen linken und rechten Nullteilern unterschieden wird.

Beispiele: Im Ring Z/6Z sind 2 und 3 Nullteiler, da 2·3 ≡ 0 (mod 6). Im Ring Z selbst existieren keine Nicht-Null-Nullteiler; Z ist ein Integralbereich (Integraldomän). In Z/nZ gilt: Ein Element a ≠ 0 ist genau dann Nullteiler, wenn gcd(a,n) ≠ 1.

In Matrizenringen, zum Beispiel M_n(K), existieren Nullteiler in der Regel, wenn die Matrix singulär ist. Eine singuläre Matrix A besitzt oft ein nicht verschwindendes B mit AB = 0, womit A ein rechter Nullteiler ist. Umgekehrt kann auch ein linker Nullteiler auftreten.

Verwandt ist die Nilpotenz: Jede Nilpotente ist ein Nullteiler, da a^k = 0 ⇒ a·a^{k-1} = 0. Allerdings ist nicht jeder Nullteiler nilpotent, und Nullteiler-Ringe unterscheiden sich dadurch von Integritätsbereichen, in denen es keine Nichtnull-Nullteiler gibt.

Nullteiler spielen eine zentrale Rolle bei der Strukturtheorie von Ringen, bei der Definition nullteilerfreier Ringe, bei Primidealen sowie in der Untersuchung von Modulen über Ringe.