Polynombewertung

Polynombewertung bezeichnet in der Mathematik die Berechnung des Wertes eines Polynoms an einer gegebenen Stelle. Ein Polynom P mit Koeffizienten a0, a1, ..., an hat die Form P(x) = a0 + a1 x + ... + an x^n. Die Polynombewertung an der Stelle x0 ergibt P(x0).

Zur effizienten Auswertung verwendet man häufig das Horner-Schema, das P(x) so umformt, dass sich der Wert durch eine Folge von n Multiplikationen und n Additionen berechnen lässt: P(x) = (...((an x + a_{n-1}) x + a_{n-2}) x + ... + a0). Diese Darstellungsform minimiert Rechenoperationen und ist numerisch robust gegenüber vielen praktischen Anwendungen.

Bei mehr als einer Variablen evaluiert man Polynomformen schrittweise, indem man die Variablen der Reihe nach einsetzt, entsprechend der Struktur des Polynoms. Für multivariate Polynome ergeben sich je nach Form unterschiedliche Evaluationspfade; grundsätzlich gilt die gleiche Idee der schrittweisen Substitution.

Komplexität und Stabilität: Die Laufzeit ist O(n) in der Anzahl der Koeffizienten; der Speicherbedarf ist O(1) zusätzlich. Numerische Fehler können auftreten durch große Werte, nahe Null liegende Koeffizienten oder endliche Gleitkommadarstellung. Zur Minderung von Rundungsfehlern kommen oft höhere Genauigkeiten oder modulare bzw. stabile Evaluationsstrategien zum Einsatz.

Anwendungen finden Polynombewertungen in numerischer Analysis, Computer-Algebra-Systemen, Grafikanwendungen und Signalverarbeitung. Beispiel: P(t) = 3 + 2 t + t^2; bei t = 4 ist P(4) = 27.

Siehe auch: Horner-Methode, Polynominterpolation.

---