Polünoominterpoleerimist

Polünoominterpoleerimine on meetod, mille abil leitakse polünoom, mis läbib teatud hulga etteantud punkte. Selle polünoomi abil saab seejärel hinnata väärtusi antud punktide vahel või isegi väljaspool etteantud vahemikku. See on kasulik paljudes valdkondades, sealhulgas numbrilises analüüsis, graafikas ja andmeanalüüsis.

Peamine idee on leida polünoom P(x), mille jaoks kehtib P(xi) = yi kõigi etteantud punktide (xi, yi) korral. Mida rohkem punkte on ette antud, seda kõrgemat kraadi polünoomi on üldjuhul vaja. N punkti jaoks on võimalik leida unikaalne n-1 kraadi polünoom, mis neid kõiki läbib.

Levinud meetodid polünoominterpoleerimiseks on Lagrange'i interpolatsioon ja Newtoni interpolatsioon. Lagrange'i interpolatsioon kasutab teatud baas-polünoomide lineaarkombinatsiooni, mis on konstrueeritud nii, et iga baas-polünoom võtab ühes punktis väärtuse 1 ja teistes punktides 0. Newtoni interpolatsioon seevastu ehitab polünoomi iteratiivselt, lisades igal sammul uue tingimuse, mis korrigeerib eelmist hinnangut.

Kuigi polünoominterpoleerimine võimaldab saada pideva funktsiooni, mis läbib kõik punktid, võib kõrge kraadi polünoomide kasutamisel tekkida Runge fenomen. See tähendab, et interpolatsioonipunktide vahel võivad tekkida suured kõikumised, mis ei pruugi reaalset andmestruktuuri kajastada. Seetõttu kasutatakse praktikas sageli tükiti polünoominterpoleerimist, näiteks splainide abil, mis jagavad interpolatsiooni väiksemateks osadeks.