Poissonjakaumat

Poissonjakaumat ovat diskreettejä todennäköisyysjakaumia, joita käytetään mallintamaan tapahtumien määrää tietyssä ajanjaksossa tai tilassa. Oletuksena on, että tapahtumat tapahtuvat jatkuvassa ajassa vakionopeudella λ > 0 ja että yksittäisten tapahtumien välillä ei ole riippuvuutta. Tämän jakautuman todennäköisyysmassafunktio on P(X = k) = e^{-λ} λ^k / k!, k = 0,1,2,... Odotusarvo ja varianssi ovat molemmat λ. Poissonjakauman ja Poissonprosessin suhde on, että ajanjaksossa tapahtumien määrä noudattaa Poissonjakaumaa, ja tapahtumien väliset ajat ovat eksponentiaalisesti jakautuneita.

Poissonjakauma voidaan nähdä binomiaalijakauman rajoituksena, kun n suurennetaan ja p pienenee siten, että np → λ. Generaattori E[s^X] = exp(λ (s−1)) ja momentti­generoitava M_X(t) = exp(λ (e^t − 1)). Moodi on ⌊λ⌋; jos λ on kokonaisluku, moodit ovat λ ja λ−1. Estimaatio: suurimman todennäköisyyden estimaatti λ̂ on näytteiden keskiarvo.

Käyttökohteita ovat muun muassa puhelinliikenne, liikenteen analyysi, laatujärjestelmät sekä biologiset ja astronomiset ilmiöt, joissa tapahtumien määrä on odotettavissa suhteellisen harvinaista ja tapahtumat ovat itsenäisiä. Rajoitteena on, että varianssi on yhtä suuri kuin keskiarvo; ylikonteriot voivat viitata tarvetta käyttää negatiivista binomijakaumaa.