Poissonprosessin

Poissonprosessin on stokastinen prosessi, joka kuvaa satunnaisten tapahtumien esiintymistä ajassa. Määritelmän mukaan N(t), t ≥ 0, on ei-vähenevä laskuri, jossa N(0) = 0 ja joiden erotukset N(t+s) − N(t) ovat Poisson-jakautuneita parametriä λ s vastaavasti, sekä erotukset ovat toisistaan riippumattomia kaikilla t ≥ 0 ja s ≥ 0. Tämän seurauksena N(t) on Poisson-jakautunut: N(t) ~ Poisson(λ t). Interarrival-ajat eli ajat ensimmäisestä, toisen ja niin edelleen ilmestymisen välillä ovat i.i.d. Exp(λ) -satunnaismuuttujia. Poissonprosessia kutsutaan homogeeniseksi silloin, kun intensiteetti λ on vakio; liitetty käsite on ei-homogeeninen Poissonprosessi, jossa intensiteetti riippuu ajasta ja voidaan käyttää intensiteettifunktiota λ(t). Tällöin N(t) − N(s) on Poisson-jakautunut parametri ∫_s^t λ(u) du.

Prosessin poluista vastaa, että ne ovat askelpöykkejä, joissa kunkin hyppäyksen suuruus on 1 ja hyppäykset tapahtuvat ajanhetkillä, jotka ovat satunnaisia. Homogeenisen Poissonprosessin interiirit ovat muodoltaan muistuttamattomia, ja prosessi on Markov-ominaisuuksiltaan yksinkertainen: nykyinen arvo N(t) riittää määrittelemään tulevan kehityksen. Poissonprosessia voidaan pitää kontinupoli- tai laskentaprosessina, joka mittaa tapahtumien määrää tietyllä aikavälillä.

Sovellukset kattavat muun muassa puhelu- ja verkkoliikenteen mallintamisen, varastotason sekä käyttökatkojen ja vulkaanitapahtumien havainnoinnin, fotonien havaitsemisen optisissa järjestelmissä sekä riskien ja epävarmuuden analyysin. Se toimii perusmallina monissa queueing-teorioissa ja stokastisissa järjestelmissä.