Poissonfördelningar

Poissonfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning som beskriver antalet händelser som inträffar i ett avgränsat intervall, under antagandet att händelserna inträffar med en konstant genomsnittlig takt och oberoende av tiden sedan den senaste händelsen. Den kännetecknas av parametern λ (genomsnittlig händelsefrekvens per intervall).

Den sannolikhetsmassfunktionen är P(X=k) = e^{−λ} λ^k / k!, för k = 0,1,2,...; med E[X] = Var[X] = λ. Egenskaper inkluderar att summan av oberoende Poissonfördelningar med parametrar λ1,...,λn är Poisson med parameter λ1+...+λn. Om händelserna följer en Poissonprocess så följer antalet händelser i ett intervall av längd t Poisson(λ t). Interarrival-tiderna är exponentiellt fördelade med parameter λ.

Poissonfördelningen uppstår också som gränsen av binomialfördelningen Binomial(n,p) när n → ∞, p → 0 och np = λ. Genererande funktion är G(s) = E[s^X] = exp(λ(s−1)).

Estimering: λ skattas vanligtvis med λ̂ = (1/n) ∑ X_i, alltså stickprovsmedelvärdet. Vid stort λ kan en normalapproximation N(λ, λ) vara lämplig. Användningar inkluderar modellering av antal händelser i intervall eller område, till exempel defekter, samtal, besök eller ankomster. Inom statistik används Poissonregression (GLM med log-länk) för räknedata.

Historia: Poissonfördelningen introducerades av Siméon Denis Poisson 1837 i arbeten om sannolikheter för händelser som inträffar oberoende och med konstant frekvens.