Poddziedziny

Poddziedzina (ang. subfield) pola F to podzbiór K ⊆ F, który jest ciałem w sensie algebraicznym i który korzysta z tych samych operacji dodawania i mnożenia co F. W praktyce oznacza to, że K zawiera element 1, jest zamknięta względem dodawania i mnożenia oraz każdej niezerowej odwrotności elementu w K. Jeśli K jest podziedziedziną F, zapisuje się K ≤ F lub K ⊆ F.

Ważnym pojęciem jest pierwotna poddziedzina, czyli najmniejsza poddziedzina pola F. W zależności od charakterystyki pola F jest to albo kopia liczb całkowitych mod p (F_p) w przypadku charakterystyki p, albo odwrotność liczb całkowitych (Q) w charakterystyce zerowej. Każda poddziedzina musi być również polem.

Przykłady: Q jest poddziedziną R i C. Z R jako poddziedziny C otrzymuje się rzeczywiste liczby wśród liczb zespolonych. Innym przykładem jest poddziedzina Q(i) = {a + b i | a, b ∈ Q} w C. W polach skończonych F_q, gdzie q = p^n, istnieją poddziedziny F_{p^d} dla każdego dzielnika d liczby n; te poddziedziny mają p^d elementów i tworzą strukturę zależną od rozmiaru pola.

Poddziedziny stanowią fundament teorii pól i rozszerzeń, umożliwiają analizę zależności między różnymi polami, konstrukcję nowych pól i zastosowania w algebrze, liczbach i geometrii algebraicznej.