Poddziedzina

Poddziedzina to termin używany w matematyce do określenia podzbioru dziedziny lub innej struktury, który zachowuje operacje i własności większego obiektu. Słowo pojawia się w różnych kontekstach, gdzie zależy od konkretnej struktury. W praktyce znaczenie jest zróżnicowane, ale łączy je idea przynależności do większego obiektu i zachowania jego struktury.

W kontekście funkcji poddziedzina odnosi się zazwyczaj do części dziedziny funkcji, na której rozważamy ograniczenie. Jeśli f jest zdefiniowana na X, to dowolny podzbiór D ⊆ X, na którym rozważamy f, prowadzi do ograniczenia f|D: D → Y. Taka poddziedzina często służy analizie właściwości funkcji na ograniczonym obszarze.

W algebrze termin ten bywa używany w nieco szerszym sensie. W wielu tekstach mówimy wtedy o podstrukturze (np. podpierścieniu, podpolu), która tworzy własną strukturę wynikającą z operacji obcych na większym obiekcie. W kontekście pól (field) poddziedzina często odpowiada pojęciu podpola (subfield): podzbiór pola, który sam jest polem pod tymi samymi operacjami i zawiera elementy identyczne z całością.

Przykłady:

- Funkcja f(x) = x^2 z dziedziny R; ograniczenie na przedziale [0, ∞) tworzy poddziedzinę, na której rozważamy f|[0, ∞).

- K = R jako ciało; Q (liczby wymierne) tworzą podpole K, będące przykładem poddziedziny w sensie algebrowym.

Własności: poddziedzina jest zawiera zawsze element identyczny (np. 1 w przypadku struktur unitalnych), musi być zamknięta względem obowiązujących operacji, a operacje w niej muszą landować w tej samej poddziedzinie. Nie zawsze domyślnie łączy się je z sobą w jedną większą całość bez dodatkowych założeń.

Zobacz także: dziedzina, podzbiór, podstruktura.