Piirväärtused

Piirväärtused (piirväärtus singular, piirväärtused plural) on matemaatikakeelis väärtused, mida järjend või funktsioon läheneb, kui sisend või indeks liigub määratud punkti või lõpmatusse. Piirväärtus ei pea olema saavutatav funktsiooni väärtus kohas, kus täpselt hinnatakse.

Järjendi piirväärtus: kui järjestus a_n läheneb L, kirjutatakse lim_{n→∞} a_n = L. See tähendab, et iga ε>0 jaoks leidub N nii, et kõigi n≥N korral |a_n−L|<ε. Kui sellist L ei eksiste, piirväärtus puudub või järjend ei kattu lõpmatuse lähenemisega.

Funktsiooni piirväärtus: kui funktsioon f on defineeritud punktide ümbruses ja lim_{x→c} f(x) = L, siis iga ε>0 jaoks leidub δ>0, nii et 0<|x−c|<δ korral |f(x)−L|<ε. Siin L võib olla sama või erinev f(c)-väärtusest; kui f(c) on defineeritud ja lim_{x→c} f(x) = f(c), siis funktsioon on pidev at c.

Ühele- ja kahemõõtmelised piirväärtused hõlmavad vasak- ja paremakiireni või lõpmatusele suunatud piire. Piirväärtused järgivad liitmise ja korrutamise sarnaseid reegleid, kui need eksisteerivad; tavapärased meetodid hõlmavad asendamist, teisendamist, jagamist, ahistustingimust (squeeze theorem) ning vajadusel L'Hôpitali reeglit.

Käitumine piiridel kirjeldab tihti ka piirväärtusi rakendustes, näiteks pidevuse kontrolliks või piirväärtustena funktsionaalsete või füüsikaliste mudelite piiril.