Piirväärtus

Piirväärtus (limit) on matemaatiline mõiste, mis kirjeldab väärtust, millele funktsioon f(x) läheneb, kui x läheneb punktile a. Märgitakse lim x→a f(x) = L. Kui selline L eksisteerib, öeldakse, et piirväärtus f(x) a-le on L. Piirväärtus võib olla lõplik või lõpmatu või üldse mitte eksisteerida.

Üksisilise piirväärtuse mõiste: lim x→a− f(x) ja lim x→a+ f(x) tähistavad vastavalt piirväärtusi lähemale a ühelt poolt. Kui mõlemad eksisteerivad ja on võrdsed, siis eksisteerib lim x→a f(x) ning selle väärtus on see ühine väärtus. Piirväärtused võivad olla lõpmatud: lim x→a f(x) = ∞ või -∞. Näiteks lim x→2 (3x+1) = 7. Mõnikord piirväärtus ei eksisteeri, näiteks lim x→0 sin(1/x) ei lähene kindla väärtuseni.

Definitsioon ja alternatiivsed lähenemised: piirväärtus L on selline, et iga ε > 0 jaoks leidub δ > 0, nii et 0 < |x − a| < δ korral |f(x) − L| < ε. Teine, ekvivalentne käsitlus kasutab järjestusi: iga järjend x_n → a, x_n ≠ a korral f(x_n) → L. Piirväärtus on oluline tööriist funktsioonide käitumise kirjeldamisel lähedal punktidele ning erineb sageli funktsiooniväärtusest f(a).

Seos jätkuvuse ja jätkuvõõrtusega: kui piirväärtus on olemas ja f on a-s pidev, siis f(a) = lim x→a f(x). Piirväärtused aitavad mõista funktsioonide ja nende käitumise järjepidevust ning käitumist lõpmatusse või äärmuslikes olukordades.