Partitsioonid

Partitsioonid (partitions) on matemaatikas ja kultuurinähtustes kasutatavad mõisted, mis viitavad kogu jagamisele mitmeks osaks. Sageli eristatakse kahe tähendusvali:

- Partitsioon hulgast: hulk S jagatakse alamhulkade kogumi A1, A2, …, Ak, kus iga A_i on mitteilmne, mitte-tühine, omavahel lõikuvus on tühik, ja nende ühisosa kattumatu ning kogu algne hulk kattub nende alamhulkudega. Näide: hulk {a, b, c} võib jaguneda { {a}, {b, c} } või { {a, b}, {c} }.

- Täisarvu partitsioon: viis, kuidas positiivset arvu n esitada summana positiivsetest tervikutest n = n1 + n2 + … + nk, kus n1 ≥ n2 ≥ … ≥ nk ≥ 1. Erinevus kaugemal tähistusest, kuna järjekord ei ole lubatud. Näide arvu 5 partitsioonidest: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1.

Partitsioonide kohta uurimisel tekkivad tähtsad mõisted:

- Täisarvude partitsioonide arv p(n) loeb kõikide erinevate summade kombinatsioonide arvu. Generatiivne funktsioon on produkti 1/(1 − x^k) (k = 1, 2, …) ja p(n) on kasulik objekt numberteoorias.

- Hulgapartiitsioonid teevad võimalikuks Bellide numbreid B_n, mis loendavad kõiki hulkude hulgapakke jagamisi.

- Seosed alusedel: täisarvude partitsioonid on seotud sümmeetriagruppide S_n konjugeeruvusklasside tüüpidest, mida tähistavad partitsioonid; Ferrers- või Youngdiagrammid visuaalselt kujutavad neid partitsoonide kollektsioone.

Rakendused ja kasutusvaldkonnad hõlmavad kombinatoorikat, tõenäosusteooriat, algebrat ja tehisintellekti, samuti arvutitehnoloogias ja andmete jaotamisel ning mäluhragade korral.