Partisjonstallene

Partisjonstallene, ofte betegnet p(n), teller antallet måter å skrive heltallet n som en sum av positive heltall uten å ta hensyn til rekkefølgen. For eksempel er p(4) = 5 og p(5) = 7, mens p(0) = 1 ved konvensjonen om den tomme summen som en partisjon. Partisjonstallene vokser raskt med n og har hatt stor betydning innen tallteori og kombinatorikk.

Genererende funksjon: P(x) = sum_{n≥0} p(n) x^n = product_{k≥1} 1/(1 - x^k). Dette utrykker at hvert heltall k kan brukes et vilkårlig antall ganger, og ulike valg gir ulike partisjoner av n.

Rekursjon: En viktig rekursjon følger av de generaliserte pentagonale tallene g_m = m(3m−1)/2 (for m = ±1, ±2, ...): p(n) = sum_{m≠0} (-1)^{m-1} p(n - g_m), med p(m)=0 hvis m<0 og p(0)=1. Denne formelen trer i kraft for n ≥ 1 og gir p(n) ut fra tidligere verdier.

Asymptotikk og presisjon: For store n har partisjonen en asymptotisk form p(n) ∼ (1/(4n√3)) exp(π sqrt(2n/3)). Hardy og Ramanujan ga denne bemerkelsesverdige formelen i 1918; senere ble Rademacher vist å kunne utvikle en eksakt konvergent serie for p(n) basert på modulære former.

Historisk og matematisk betydning: Partisjonstallene stammer fra Euler og har koblinger til q-serier og modulære former. De har vist seg å ha bemerkelsesverdige kongruenser, som p(5n+4) ≡ 0 mod 5, p(7n+5) ≡ 0 mod 7 og p(11n+6) ≡ 0 mod 11, og spiller en sentral rolle i moderne tallteori og kombinatorikk.