Parametriavaruuden

Parametriavaruus on joukko kaikkia mahdollisia arvoja, joita käytetään kuvaamaan perhettä malleja tai järjestelmiä. Se määrittelee, millä arvoilla malli voi käyttäytyä, ja sen tutkiminen auttaa ymmärtämään mallin ominaisuuksia sekä sen sovittamista dataan.

Jos malli f riippuu parametreista θ = (θ1, ..., θn), niin parametriavaruus Θ on yleensä osajoukko R^n. Θ voi olla suoraviivainen tai sisältää erilaisia rajoitteita, ja joskus koostua useamman riippumattoman osan tuottamasta tuotosta. Joissakin tapauksissa Θ on monimutkaisempi pinta tai monimuoto (manifold).

Esimerkkejä: Lineaarinen regressio y = a x + b määrittelee parametriavaruuden Θ = R^2, jossa parametrit ovat a ja b. Monimutkaisemmissa malleissa Θ voi sisältää sekä jatkuvia että diskreettejä arvoja, kuten valintoja mallin rakenteesta tai säännöistä.

Rooli käytännössä: Estimoinnissa ja optimoinnissa etsitään Θ:stä arvoja, jotka parantavat mallin sovitusta dataan tai maksimoivat todennäköisyyden. Bayesilaisessa lähestymistavassa Θ:iin määritellään priorijakauma, ja parametrit päivitetään datan perusteella posteriorijakaumaksi. Eri menetelmät, kuten ruudukkoetsintä, gradienttivetoiset optimoinnit ja Markov-ketjujen Monte Carlo -menetelmät, liikuttavat toiminnallisuutta Θ:ssa.

Hyperparametrit eroavat parametreista: ne säätelevät mallin rakennetta tai oppimisprosessia eivätkä suoraan mallin sisäisiä arvoja. Hyperparametrien optimointi on oma ala, jossa etsitään parempia arvoja sekä suorituskyvyn että laskennan kannalta.

Haasteita ja piirteitä: identifiabiliteetti, mahdollinen yli- tai alioppiminen, rajoitteiden aiheuttamat monotoniaisuudet sekä suuri ulottuvuus voivat vaikuttaa sekä laskentaan että tulkintaan. Parametriavaruus yhdistää mallit ja dataan liittyvän päätöksenteon.