Overføringsfunktioner

Overføringsfunktioner er centrale i signalbehandling og kontrolteori for at beskrive forholdet mellem et systems input og output i frekvensdomenet. For lineære tidsinvariante systemer (LTI) beskriver de hvordan et inputsignal X(t) producerer et outputsignal Y(t) gennem systemets opførsel. På kontinuerlig tid bruges ofte Laplace-transformen og betegnelsen H(s); for diskret tid anvendes Z-transformen og betegnelsen H(z).

For kontinuerte tid er overføringsfunktionen H(s) = Y(s)/X(s) under null indledende betingelser. Hvis systemet er beskrevet ved en differentialligning, kan H(s) skrives som en rationel funktion: H(s) = (b0 + b1 s + ... + bn s^n) / (a0 + a1 s + ... + am s^m). På diskret tid er H(z) = (b0 + b1 z^{-1} + ... + bn z^{-n}) / (1 + a1 z^{-1} + ... + am z^{-m}). Normalisering indebærer ofte at a0 = 1.

Overføringsfunktionen giver en kompakttilbagekobling af systemets egenskaber gennem poler og nulsætning (zeros). Poler angiver systemets stabilitet og langsigtede respons; zeros påvirker frekvensspektret og resonans. Frekvensresponsen H(jω) eller H(e^{jω}) beskriver magnitude og fase ved forskellige frekvenser, og impulse response h(t) (eller h[n]) er den inverse transform af H(s) (eller H(z)) for en kontinuerlig- eller diskret-tids version.

Overføringsfunktionen kan udledes fra tilstandsrumrepræsentationen (A,B,C,D) via H(s) = C(sI - A)^{-1}B + D. Den er også sammenlignelig med tidsdomænebeskrivelser gennem konvolution. Ikke-proper eller ikke-stabile H(s) kræver særlige betingelser eller avancerede teknikker.

Anvendelser omfatter design og analyse af filtre og controllere (f.eks. PID), signalfiltrering, elektroteknik, mekaniske systemer og digital signalbehandling. Overføringsfunktioner giver et effektivt værktøj til at forstå og optimere systemets frekvensrespons og tidsopførsel.