Osittaisjärjestyssuhteilla

Osittaisjärjestyssuhde, suomeksi joskus myös osittaisjärjestys tai osittainen järjestys, on matemaattinen käsite, joka kuvaa joukon alkioiden välistä suhdetta, jossa kaikille alkioille ei välttämättä ole määritelty järjestystä keskenään. Se on erityistapaus yleisemmästä relatiosta. Osittaisjärjestyssuhde on binäärinen relatio R joukolla A, joka täyttää kolme ehtoa: refleksiivisyys, antisymmetrisyys ja transitiivisuus. Refleksiivisyys tarkoittaa, että jokainen joukon A alkio on relatiossa itsensä kanssa. Antisymmetrisyys tarkoittaa, että jos kaksi alkiota ovat relatiossa keskenään ja käänteisesti, niin niiden on oltava sama alkio. Transitiivisuus tarkoittaa, että jos alkio a on relatiossa alkioon b, ja alkio b on relatiossa alkioon c, niin alkion a on oltava relatiossa alkioon c.

Joukon A, jolla on määritelty osittaisjärjestyssuhde R, sanotaan muodostavan osittain järjestetyn joukon (A, R). Tunnettuja esimerkkejä osittaisjärjestyssuhteista ovat esimerkiksi lukujen "pienempi tai yhtä suuri kuin" -suhde luonnollisten lukujen joukossa, tai joukon osajoukon sisältyvyyssuhde. Toisin kuin täydellisessä järjestyksessä, jossa mitkä tahansa kaksi alkiota ovat joko pienempiä tai suurempia toisiaan, osittaisjärjestyksessä voi olla alkioita, jotka eivät ole vertailtavissa keskenään. Tällöin ei ole määritelty, kumpi alkioista on "suurempi". Visuaalisesti osittaisjärjestyksiä voidaan esittää Hasse-diagrammeilla.