Ortonormaalisuuden

Ortonormaalisuus on käsite lineaarialgebrassa, jossa vektoreiden joukko on sekä ortogonaalinen että jokaisen vektorin pituus on yksi. Tarkemmin: joukko {e1, e2, ..., en} on ortonormaali, jos ⟨ei, ej⟩ = 0 kaikilla i ≠ j ja ⟨ei, ei⟩ = 1 kaikilla i. Tämä pätee sekä reaalisiin että kompleksisiin sisätiloihin.

Joukko on ortonormaali perusta, jolloin jokainen vektori v voidaan esittää yksinkertaisesti v = ∑_{i=1}^n ⟨v, ei⟩ ei. Koordinaatit koostuvat suoraan sisätyypin arvoista. Projektion span{e1, ..., em} on ∑_{i=1}^m ⟨v, ei⟩ ei. Ortonormaalius siis mahdollistaa vektorin helposti laskettavan hajottamisen ja eri komponenttien erottelun.

Ortonormaalius yksinkertaistaa myös matriisilaskennan: jos A on lineaarinen operaatio ja suhteessa ortonormaaliin perus {e_i}, matriisi A suhteessa tähän perukseen on annettu porrasittain A_{ij} = ⟨Ae_j, e_i⟩. Tällöin esitykset ja laskut ovat suoraviivaisempia kuin yleisessä basisissa.

Gram–Schmidt -prosessi on tunnettu menetelmä, jolla millainen tahansa lineaarisesti riippumaton joukko voidaan muuntaa ortonormaaliin joukkoon, ja näin tuoda käyttöön haluttu perusta. Esimerkkejä ovat R^n:n standardi basis {e1, ..., en}, joka on ortonormaali, sekä L^2[-π, π] -tilan Fourier-sarjojen basis, joka muodostaa ortonormaalin rakenteen. Ortonormaalisuus on keskeinen käsite sekä teoreettisessa että sovellettavassa lineaarialgebrassa.