Ortonormaalijärjestelmät

Ortonormaalijärjestelmä on vektoriavaruuden kanta, jonka vektorit ovat keskenään kohtisuorassa ja yksikköpituisia. Vektoriavaruudessa, kuten euklidisessa avaruudessa, ortonormaalijärjestelmä tarjoaa tehokkaan tavan esittää vektoreita ja suorittaa laskutoimituksia. Ortonormaalijärjestelmän määritelmässä kaksi vektoria u ja v ovat kohtisuorassa, jos niiden pistetulo on nolla, eli u · v = 0. Lisäksi vektorin pituus eli normi on yksi, eli ||v|| = 1.

Ortonormaalijärjestelmän etuna on sen yksinkertaisuus. Kun vektori esitetään ortonormaalikannassa, sen kertoimet ovat suoraan vektorin projektioita kannan vektoreiden suunnille. Tämä helpottaa esimerkiksi vektorin pituuden laskemista ja vektoreiden välisten kulmien määrittämistä. Ortonormaalijärjestelmät ovat keskeisiä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten lineaarialgebrassa, funktionaalianalyysissä ja kvanttimekaniikassa. Esimerkiksi Fourier-analyysi perustuu ortonormaaleihin kantoihin.

Monissa sovelluksissa, kuten kuvankäsittelyssä ja signaalinkäsittelyssä, ortonormaaleja kantoja käytetään datan tehokkaaseen esittämiseen ja muokkaamiseen. Hilbertin avaruudet, jotka ovat täydellisiä sisätuloavaruuksia, omaavat aina ortonormaalin kannan, jos ne ovat äärellisulotteisia. Ortonormaalijärjestelmän olemassaolo on tärkeä ominaisuus monille lineaarialgebran teoreemoille.