Ortonormaalijärjestelmä

Ortonormaalijärjestelmä on vektoriavaruuden kanta, jonka vektorit ovat paitsi ortogonaalisia eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, myös normeerattuja, eli niiden pituus on yksi. Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisen kannan vektorin pistetulo itsensä kanssa on yksi, ja eri kannan vektoreiden pistetulo on nolla.

Ortonormaalijärjestelmät ovat erittäin hyödyllisiä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Niiden avulla on helppo esittää vektoreita ja laskea niiden projektioita. Esimerkiksi euklidisessa avaruudessa tuttu standardikanta, jossa vektorit ovat akselien suuntaisia ja niiden pituus on yksi, on ortonormaalijärjestelmä.

Ortonormaalikannan käyttö yksinkertaistaa usein laskentaa merkittävästi. Kun vektorit ovat ortogonaalisia, niiden väliset riippuvuudet ovat minimoituja, ja kun ne ovat normeerattuja, pituuteen liittyvät tekijät yksinkertaistuvat. Tämä tekee ortonormaalijärjestelmistä tehokkaan työkalun esimerkiksi lineaarialgebrassa ja kvanttimekaniikassa. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella on olemassa ortonormaalikanta. Gram-Schmidt-ortogonalisaatiomenetelmä on yleinen tapa muodostaa ortonormaalijärjestelmä annetusta kannasta.