ortonormaalijärjestelmistä

Ortonormaalijärjestelmä on joukko vektoreita lineaarisessa avaruudessa, jotka ovat sekä ortogonaalisia että normitettuja. Ortogonaalisuus tarkoittaa, että mitkä tahansa kaksi eri vektoria joukosta ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, eli niiden pistetulo on nolla. Normitettavuus puolestaan tarkoittaa, että jokaisen vektorin pituus eli normi on yksi.

Ortonormaalijärjestelmät ovat erittäin tärkeitä lineaarialgebrassa ja sen sovelluksissa. Ne yksinkertaistavat monia laskutoimituksia ja auttavat ymmärtämään avaruuden rakennetta. Esimerkiksi minkä tahansa vektorin esittäminen ortonormaalikannan avulla on helppoa, koska kertoimet saadaan suoraan laskemalla vektorin pistetulo kannan vektorien kanssa.

Tunnetuin esimerkki ortonormaalijärjestelmästä on euklidisen avaruuden standardikanta. Kahdessa ulottuvuudessa tämä koostuu vektoreista (1, 0) ja (0, 1). Kolmessa ulottuvuudessa vastaavat vektorit ovat (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1). Nämä vektorit ovat kaikki yksikkövektoreita ja ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Ortonormaalijärjestelmien olemassaolo takaa, että jokaisella äärellisulotteisella reaalisella vektoritilalla on olemassa ortonormaali kanta. Tämä on Gram-Schmidt-ortogonalisointiprosessin perustana, jonka avulla mistä tahansa kannasta voidaan muodostaa ortonormaali kanta.