ortonormaalijärjestelmästä

Ortonormaalijärjestelmä on vektoriavaruuden kanta, jonka vektorit ovat paitsi ortogonaalisia toisilleen myös yksikkövektoreita. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa kahden eri vektorin pistetulo on nolla, ja minkä tahansa vektorin pistetulo itsensä kanssa (eli sen pituuden neliö) on yksi. Ortonormaalijärjestelmät ovat erityisen hyödyllisiä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, koska ne yksinkertaistavat monia laskutoimituksia.

Vektoriavaruuden, jossa on määritelty pistetulo, sanotaan olevan sisätulon avaruus. Jos tämä avaruus on täydellinen, sitä kutsutaan Hilbertin avaruudeksi. Ortonormaalijärjestelmä voidaan määritellä yleisemmin myös näissä tapauksissa. Esimerkiksi euklidisessa avaruudessa $\mathbb{R}^n$ standardikanta, joka koostuu vektoreista $e_1 = (1, 0, \dots, 0)$, $e_2 = (0, 1, \dots, 0)$, ..., $e_n = (0, 0, \dots, 1)$, on ortonormaalijärjestelmä.

Ortonormaalijärjestelmän etuja ovat muun muassa se, että vektorin koordinaatit kyseisessä kannassa voidaan laskea helposti projisoimalla vektori kanta-vektoreille. Lisäksi ortonormaali kanta tekee Gram-Schmidt-ortogonalisointiprosessista suoraviivaisemman, kun halutaan muuttaa mikä tahansa kanta ortonormaaliksi kannaksi. Fourier-sarjat ovat yksi tärkeä sovellus, jossa hyödynnetään ortonormaaleja kantoja funktioavaruuksissa.