Fouriersarjat

Fouriersarjat ovat matemaattinen menetelmä, jolla 2π-periodinen funktio f voidaan esittää sarjana sinimuotoisia ja kosinimuotoisia funktioita. Tyypillinen muoto on f(x) = a0/2 + ∑_{n=1}^{∞} [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], jossa a_n ja b_n ovat Fourierincoefficienteja. Tämä sarja pyrkii kuvaamaan f:n toistoa ja taajuuksia kerrosten kautta.

Coefficientsit määritellään integraaleilla a_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) cos(nx) dx, b_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) sin(nx) dx, ja a0 = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) dx. Näiden kautta farkkuu f:n ominaisuuksia, kuten n-taajuuden komponentteja ja niiden voimakkuuksia. Fourierin sarjan voi kirjoittaa myös kompleksimuodossa f(x) = ∑_{n=-∞}^{∞} c_n e^{inx}, where c_n = (1/2π) ∫_{-π}^{π} f(x) e^{-inx} dx.

Konvergenssi ja ehtoja koskevat perusväitteet vaihtelevat: Dirichletin ehdot takaavat pistekohtaisen konvergenssin suurimmassa osassa kohteita, ja sarja konvergoi arvoon, joka on vasemman ja oikean rajan keskiarvo epäjatkuvuuspisteissä. Jos f on jatkuva ja sen derivaatta on hajallaan, sarja konvergoi tasaisesti. L2-konvergenssi pätee kaikille neliöjäämille funktioille.

Historiallisesti Fourier kehitti menetelmän lämpölemppujen ongelmien ratkaisemiseksi, ja sen jälkeen sitä on sovellettu signaalinkäsittelyssä, akustiikassa sekä oskillaatioiden ja PDE-ongelmien ratkaisemisessa. Gibbs-ilmiö näkyy epäjatkuvuustapauksissa, jolloin sarja lähestyy jyrkkää hyppäystä ohuella piikillä.