Vektoriavaruuden

Vektoriavaruus, tunnettu myös nimellä lineaarinen avaruus, on matemaattinen rakenne, joka koostuu joukosta vektoreita, jotka voivat olla yhteenlaskettuja ja kerrottuja skalaareilla. Skalaarit ovat yleensä reaalilukuja tai kompleksilukuja. Näiden kahden operaation on noudatettava tiettyjä aksioomia, jotka määrittelevät vektoriavaruuden perusominaisuudet. Nämä aksioomat takaavat, että operaatiot käyttäytyvät johdonmukaisesti ja ennustettavasti.

Yhteenlasku aksioomat kattavat kommutaatiivisuuden (a + b = b + a), assosiatiivisuuden ((a + b) + c = a + (b + c)), olemassaolon nollavektorille (jollekin a, a + 0 = a) ja olemassaolon vastavektorille (jollekin a, a + (-a) = 0). Skalaarilla kertomisen aksioomat sisältävät distributiivisuuden (c(a + b) = ca + cb ja (c + d)a = ca + da), assosiatiivisuuden (c(da) = (cd)a) ja identiteetin olemassaolon (1a = a, missä 1 on skalaariidentiteetti).

Vektoriavaruuden käsite on perustavanlaatuinen lineaarialgebrassa ja sitä käytetään laajalti matematiikan, fysiikan, tietojenkäsittelytieteen ja insinööritieteiden eri aloilla. Se mahdollistaa monimutkaisten ongelmien mallintamisen ja ratkaisemisen lineaarisilla menetelmillä. Esimerkkejä vektoriavaruuksista ovat tavalliset kaksi- ja kolmiulotteiset avaruudet, kaikkien reaalikertoimisten polynomien joukko tietyllä asteella ja kaikkien jatkuvien funktioiden joukko suljetulla välillä.