Omomorphismus

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen desselben Typs, die die Struktur bewahrt. Wenn wir beispielsweise zwei Gruppen G und H betrachten, dann ist eine Abbildung f von G nach H ein Homomorphismus, wenn für alle Elemente a und b in G gilt, dass f(a * b) = f(a) * f(b), wobei * die Gruppenoperation in der jeweiligen Gruppe bezeichnet. Diese Eigenschaft bedeutet, dass die Operation in der Zielstruktur das Ergebnis der Anwendung der Operation in der Quellstruktur ist.

Homomorphismen sind ein fundamentales Konzept in der abstrakten Algebra und finden sich in vielen verschiedenen mathematischen Bereichen, darunter Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume und Moduln. Die genaue Definition hängt von der Art der betrachteten algebraischen Struktur ab. Beispielsweise ist für Ringe ein Homomorphismus eine Abbildung, die sowohl die Addition als auch die Multiplikation bewahrt.

Wenn ein Homomorphismus bijektiv ist, das heißt, er ist sowohl injektiv (eindeutig) als auch surjektiv (alle Elemente der Zielmenge werden getroffen), dann nennt man ihn einen Isomorphismus. Ein Isomorphismus zeigt, dass die beiden algebraischen Strukturen im Wesentlichen identisch sind, nur möglicherweise mit anderen Namen für ihre Elemente und Operationen. Kerne und Bilder sind wichtige Konzepte, die mit Homomorphismen verbunden sind und Aufschluss über die Struktur der abgebildeten Elemente geben. Der Kern eines Homomorphismus ist die Menge der Elemente in der Quellstruktur, die auf das neutrale Element der Zielstruktur abgebildet werden. Das Bild eines Homomorphismus ist die Menge aller Elemente in der Zielstruktur, die tatsächlich von Elementen der Quellstruktur getroffen werden.