Nullvektoren

Der Nullvektor, auch Nullvektor genannt, ist in jedem Vektorraum V über einem Körper F das additive Identitätselement. Er wird üblicherweise mit 0 oder 0_V notiert und hat die Eigenschaft, dass für alle Vektoren v in V gilt v + 0 = v = 0 + v. Außerdem gilt für jeden Skalar a in F: a·0 = 0, das heißt, der Nullvektor bleibt unter Skalaren stets beim Ursprung.

In konkreten Räumen wie dem euklidischen Raum R^n hat der Nullvektor die Koordinaten (0,0,...,0) und repräsentiert den Ursprung. Er besitzt die Eigenschaft, dass seine Norm null ist, ||0|| = 0, und er ist (im Sinne des Skalarprodukts) mit jedem Vektor orthogonal: ⟨0,v⟩ = 0 für alle v in V.

Der Nullvektor ist das eindeutige additive Identitätselement; der Vektorraum besteht aus V plus dem Nullvektor. Folglich liegt der Nullvektor in jedem Untervektorraum, und der einzige Untervektorraum, der keinen anderen Vektor enthält, ist der Nullvektorraum {0}. In linearen Abbildungen erfüllt jede lineare Abbildung T die Eigenschaft T(0) = 0.

Anwendungshinweise: In Gleichungssystemen Ax = 0 ist der Nullvektor immer eine Lösung (triviale Lösung); ist zusätzlich eine nicht-triviale Lösung vorhanden, besitzt das lineare Gleichungssystem weitere Vektoren im Lösungssatz. Der Nullvektor dient damit als Bezugspunkt vieler Konzepte in der linearen Algebra.