Nullfläche

Nullfläche bezeichnet in der Geometrie und Relativitätstheorie eine Hypersurface Σ in einer Lorentz-Mannigfaltigkeit (M,g), deren Normalvektor lichtartig (null) ist. Dadurch liegt der Normalvektor gleichzeitig im Tangentialraum T_pΣ, und die induzierte Metrik g|_{T_pΣ} ist entartet; in jedem Punkt enthält Σ eine Nullrichtung. Folglich wird Σ von Nullgeodäten erzeugt und kann als Lichtfront aufgefasst werden.

Eigenschaften: Die intrinsische Geometrie einer Nullfläche ist entartet; es existieren Nullvektoren l^a, die entlang Σ verlaufen und die Richtung des Lichts durch Σ festlegen. Lokal kann Σ durch eine Funktion f definiert sein, deren Gradient das Normalfeld bildet; auf Σ gilt g^{ab} ∂_a f ∂_b f = 0, was die Nullität bestätigt. Zur Beschreibung der Geometrie werden oft Hilfsmittel der Nullgeometrie verwendet, etwa der Nullgeodätengenerator, oder Ansätze wie der Newman-Penrose-Formalismus und die Raychaudhuri-Gleichung für Nullgeodätengruppen.

Beispiele: Der Zukunftskegel eines Ereignisses im Minkowski-Raum ist eine einfache Nullfläche. Der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs (z. B. Schwarzschild-Horizon) ist ebenfalls eine Nullfläche. Auch sich ausbreitende Lichtfronten in Raumzeitmodellen bilden Nullflächen.

Bedeutung: Nullflächen spielen eine zentrale Rolle bei der Beschreibung von Lichtausbreitung, Kausalstrukturen und Horizonten in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Mathematisch werden sie als spezielle Hyperflächen untersucht, deren Geometrie durch Nullgeneratoren und eine entartete Metrik geprägt ist.