Normvergleiche

Normvergleiche bezeichnet die Analyse der Beziehungen zwischen verschiedenen Normen auf einem Vektorraum. Im Mittelpunkt steht, wie eine Norm von einer anderen Norm abgeschätzt werden kann, insbesondere ob zwei Normen äquivalent sind, d.h. es existieren positive Konstanten c und C mit c‖x‖_A ≤ ‖x‖_B ≤ C‖x‖_A für alle Vektor x. Solche Äquivalenzkonstanten sind wesentlich für die Wahl einer geeigneten Norm in Analytik und Numerik.

In endlichen Dimensionen gilt: Alle Normen sind äquivalent, und die induzierten Topologien stimmen überein. In unendlichen Dimensionen gilt dies nicht allgemein: Es gibt Normen, die nicht äquivalent sind und unterschiedliche Topologien definieren.

Häufig verwendete Normen sind die lp-Normen ‖x‖_p = (∑|x_i|^p)^{1/p} für 1 ≤ p < ∞ sowie die Maximumsnorm ‖x‖_∞ = max_i |x_i|. Für V = R^n gelten Standardungleichungen: ‖x‖_∞ ≤ ‖x‖_2 ≤ ‖x‖_1 ≤ √n ‖x‖_2 sowie ‖x‖_∞ ≤ ‖x‖_1 ≤ n‖x‖_∞. Allgemein gilt: 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ impliziert ‖x‖_q ≤ ‖x‖_p ≤ n^{1/p−1/q}‖x‖_q. Diese Beziehungen liefern konkrete Äquivalenzkonstanten.

Normvergleiche finden breite Anwendung in der Numerik, etwa bei der Stabilitäts- und Fehlerschätzung von Algorithmen, in der Funktionalanalysis und bei der Wahl geeigneter Normen zur Problemformulierung.