Normalzahlen

Normalzahlen sind reelle Zahlen, deren Darstellungen in einer festen Basis b≥2 sogenannte Normalität besitzen. Genauer gilt: Eine Zahl x im Intervall [0,1) heißt normal zur Basis b, wenn jede Ziffernfolge der Länge k aus dem Ziffernalphabet {0,1,...,b−1} im Basis-b-Entwurf von x mit der Frequenz 1/b^k auftritt, im Limes, wenn man immer mehr Ziffern betrachtet. Dabei ist zu beachten, dass jede reelle Zahl auch zwei Expansionen haben kann (eine endet in Nullen, die andere in (b−1)s), weshalb man eine eindeutige Expansion wählt.

Eine äquivalente Formulierung lautet: Die Folge der Brüche {b^n x} ist gleichverteilt modulo 1. Normalität ist basisabhängig; eine Zahl kann normal in einer Basis sein, aber nicht unbedingt in einer anderen. Begriffe wie absolut normal beziehen sich darauf, dass eine Zahl in allen Basen b≥2 normal ist.

Existenz und Häufigkeit: Nach Borel ist die Menge der Zahlen, die in einer festen Basis normal sind, von Maß 1. Folglich gibt es Zahlen, die in allen Basen normal sind (absolut normal). Es gibt auch explicit konstruierte Beispiele: Die Champernowne-Konstante, gebildet durch das Hintereinanderherschreiben der natürlichen Zahlen in Basis b, ist in Basis b normal. Ähnliche Konstruktionen, z. B. Copeland–Erdős, liefern ebenfalls normale Zahlen in einer gegebenen Basis. Viele bekannte Konstanten (wie π oder e) sind hinsichtlich ihrer Normalität in bestimmten Basen bislang unbekannt.

Anwendung und Grenzen: Normalität ist eine asymptotische Eigenschaft der Ziffernverteilung. Sie sagt nichts über endliche Abschnitte aus, und für viele konkreten Zahlen ist die Normalität in einer bestimmten Basis bislang nicht bekannt. Die Theorie verbindet Zahlentheorie, Maß- und Verteilungslehre und bleibt in vielen offenen Fragen aktiv.