Nennerkomponenten

Nennerkomponenten bezeichnet in der Mathematik die Bausteine, aus denen der Nenner eines Bruchs oder eines rationalen Ausdrucks besteht. Sie sind die Faktoren, die den Nenner bestimmen, und damit die definierten Einschränkungen des Ausdrucks. In der algebraischen Praxis unterscheidet man je nach Kontext zwischen numerischen Nennerkomponenten und polynomialen Nennerkomponenten.

Bei reellen Zahlenfractionen besteht der Nenner typischerweise aus einer Zahl, die sich in Primfaktoren zerlegen lässt. Die Nennerkomponenten sind dann die Primfaktoren (unter Berücksichtigung ihrer Vielfache). Bei rationalen Ausdrücken mit Polynomen gliedert sich der Nenner in irreduzible Faktoren über dem betrachteten Koeffizientenfeld (z. B. den reellen Zahlen). Die Nennerkomponenten sind diese irreduziblen Faktoren, deren Potenzen die Struktur des Nenners bestimmen.

Verwendung: Bei der Addition oder Subtraktion von Bruchzahlen richtet man sich nach den Nennerkomponenten, um einen gemeinsamen Nenner zu finden. Der gemeinsame Nenner entsteht als Vielfaches der Nennerkomponenten. In der Partialbruchzerlegung werden rationale Funktionen genau deshalb in Brüche mit einfacheren Nennern zerlegt, deren Nenner aus den Nennerkomponenten bestehen.

Beispiel: Der Bruch 6/(x^2-5x+6) hat den Nenner (x-2)(x-3); die Nennerkomponenten sind die Faktoren (x-2) und (x-3). Die Werte x=2 und x=3 liegen außerhalb des Definitionsbereichs, da sie den Nenner Null setzen und den Ausdruck undefiniert machen.

Wichtige Hinweise: Die Nennerkomponenten bestimmen, für welche Werte der Ausdruck definiert ist. Bei Polynomen handelt es sich um irreduzible Faktoren über dem jeweiligen Feld; bei Zahlenfraktionen um Primfaktoren der Nennerzahl.