NavierStokesekvationerna

NavierStokesekvationerna, oftast kallade Navier–Stokes-ekvationerna, är grundläggande partiella differentialekvationer som beskriver hur viscösa Newtonska fluider rör sig. De bygger på bevarande av massa och momentum och används inom en rad områden som aerodynamik, meteorologi, oceanografi, biomedicin och processindustri.

I allmän form gäller för ett hastighetsfält v(x,t), densitet ρ, tryck p och kroppskraft f. Den framåtriktade formeln är:

ρ (∂v/∂t + (v · ∇)v) = - ∇ p + μ ∇^2 v + (λ + μ) ∇(∇ · v) + f,

samt kontinuitetsekvationen ∂ρ/∂t + ∇ · (ρ v) = 0. För inkompressibel vätska med konstant densitet förenklas ekvationerna till:

ρ (∂v/∂t + (v · ∇)v) = - ∇ p + μ ∇^2 v + f, med ∇ · v = 0.

Här är μ den dynamiska viskositeten och ν = μ/ρ den kinematiska viskositeten. Ekvationerna är icke-linjära och är källan till komplexa fenomen som turbulens när Reynolds-talet är högt.

Egenskaper och svårigheter: lösningar i tre dimensioner är generellt svåra att bevisa existens och släthet (ett av de sju Millennium-prisproblemen). I tvådimensionella fall finns global existens av släta lösningar under många fall kända resultat.

Historik och betydelse: ekvationerna formulerades i mitten av 1800-talet av Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes. De utgör navet i modern fluidmekanik och används i simuleringar, experiment och teori för att förstå och förutsäga vätskors beteende i allt från flygplan till havsströmmar och blodflöden.