NURBSOberflächen

NURBS-Oberflächen (Non-Uniform Rational B-Spline-Oberflächen) sind eine zweidimensionale Verallgemeinerung von NURBS-Kurven und werden in CAD, CAM und CAE zur präzisen Modellierung von freiformigen Oberflächen verwendet. Sie ermöglichen eine flexible Repräsentation durch eine Gitterstruktur aus Kontrollpunkten, Gewichten und B-Spline-Basisfunktionen, wodurch komplexe Geometrien kontrollierbar bleiben.

Mathematische Grundlagen: Eine NURBS-Oberfläche S wird durch zwei Parametrisierungen in den Dimensionen u und v definiert. Typischer Ausdruck ist S(u,v) = (1/W(u,v)) sum_i sum_j N_i,p(u) M_j,q(v) w_ij P_ij, wobei W(u,v) = sum_i sum_j N_i,p(u) M_j,q(v) w_ij. N_i,p und M_j,q sind die B-Spline-Basisfunktionen höheren Grades in den Parametern u bzw. v, berechnet aus den Knotensequenzen U und V. P_ij sind die 3D-Kontrollpunkte, w_ij die entsprechenden Gewichte. Die Parameterwerte liegen üblicherweise in [0,1] × [0,1]. Durch Wahl der Knotensequenzen, Grade p und q sowie der Gewichte lassen sich verschiedenste Oberflächenformen erzeugen; die gewichteten Anteile ermöglichen die exakte Darstellung bestimmter konischer Geometrien.

Eigenschaften und Manipulation: NURBS-Oberflächen bieten lokale Steuerung, ansonsten globale Einflüsse wirken begrenzt durch die Struktur der Basisfunktionen. Sie unterstützen Kontinuität C^k je nach Knotendopung und eignen sich für Refinement durch Knoteneinfügung, Gradsteigerung und hierarchische Modelle. Tensorprodukt-NURBS-Oberflächen ermöglichen die Darstellung durch ein regelmäßiges Kontrollpunktgitter, während trimming-Operationen gebräuchlich sind, um nicht-rechteckige Flächenbereiche abzubilden.

Anwendungen und Einordnung: In der Praxis dominieren NURBS-Oberflächen das Modellieren freier Oberflächen in der Automobil-, Luftfahrt-, Schiffbau- und Animationsindustrie. Sie bieten eine robuste, editierbare Geometrie, können jedoch komplexe Implementierungen und Rechenaufwand erfordern.